Prédire le résultat de la loterie - Collège Pierre et Marie Curie (Gravelines) Collège du Septentrion (Bray-Dunes)

Une loterie électronique est proposée sur un site internet. Elle se présente ainsi : le logiciel choisit un nombre entier N (assez grand ; 347 par exemple) ; les nombres entiers de 1 à N sont placés sur un cercle ; le logiciel supprime un nombre sur deux jusqu’à ce qu’il n’en reste qu’un qui est alors considéré comme le numéro gagnant. Par exemple, avec N=6, le logiciel supprime d’abord successivement 2, 4, et 6, (il reste donc 1, 3 et 5), puis il supprime 3, puis 1 et le numéro gagnant est 5. Pour N=8, le numéro gagnant est 1. Pour N=9, on obtient 3. Pour N=347, on obtient 197. Pour N=1025, on obtient 3.
Une fois le nombre N affiché, le joueur n’a que quelques secondes pour choisir le numéro sur lequel il mise.

• Peut-on deviner le résultat lorsque N appartient à une ou plusieurs famille(s) de nombres ?
• Peut-on imaginer une formule générale permettant de calculer le numéro gagnant, en quelques secondes, après avoir pris connaissance de la valeur de N ?
• Peut-on démontrer l‘exactitude cette formule ?

On pourra ensuite modifier à volonté le processus de sélection du ou des numéro(s) gagnant(s). Par exemple, en décidant que l’on supprime deux nombres sur trois ou que l’on supprime un nombre sur trois, etc.