Établissement
Collège Georges Pompidou (Cajarc)
Année
2024-2025
Résumé
Dessinez un rectangle de longueur 17 (cm) et de largeur 10 (cm) et pavez le avec des carrés de coté le plus grand possible. Votre pavage se compose de : un carré de coté 10, 1 carré de coté 7, 2 carrés de coté 3 et 3 carré de coté 1, soit
17X10 = 1x( 10x10) + 1x( 7x7 )+ 2x( 3x3) + 3x( 1x1).
On retrouve cette décomposition par divisions euclidiennes :
17 = 1x 10 + 7
10 = 1x7 + 3
7 = 2x3 + 1
3 = 3x1
En regroupant ces divisions, on peut écrire le quotient
17/10 = 1 + 7/10 = 1 + 1/(10/7) = 1+1/ (1+ 3/7) = 1 + 1/ (1 + (1/(2+1/3)))
Cette fraction s'appelle « fraction continue » du quotient 17/10 . Pour simplifier l'écriture on écrit 17/10 = [1,1,2,3]
Pour chaque quotient d'entiers, on peut toujours utiliser l'algorithme d' Euclide qui s'arrête au bout d'un nombre fini de divisions et on obtient sa fraction continue.
Dans l'exemple les 4 chiffres signifient , géométriquement, qu'on a 1 pavage avec 1 carré de plus grand coté (ici 10) puis 1 carré de coté 7=17-10, puis 2 carrés de coté 3=10-7 et 3 carrés de coté 1=7-2x3.
On peut donc aussi, à partir d'une fraction continue, obtenir un rectangle pavé en carrés et le quotient correspondant.
Prenez deux nombres entiers au hasard et faites le pavage, la décomposition en fraction continue etc....et réciproquement.
Que se passe-t-il si les cotés du rectangle ne donnent pas un quotient d'entiers ?
Par exemple si la largeur est 1 et la longueur le nombre d'or ?
17X10 = 1x( 10x10) + 1x( 7x7 )+ 2x( 3x3) + 3x( 1x1).
On retrouve cette décomposition par divisions euclidiennes :
17 = 1x 10 + 7
10 = 1x7 + 3
7 = 2x3 + 1
3 = 3x1
En regroupant ces divisions, on peut écrire le quotient
17/10 = 1 + 7/10 = 1 + 1/(10/7) = 1+1/ (1+ 3/7) = 1 + 1/ (1 + (1/(2+1/3)))
Cette fraction s'appelle « fraction continue » du quotient 17/10 . Pour simplifier l'écriture on écrit 17/10 = [1,1,2,3]
Pour chaque quotient d'entiers, on peut toujours utiliser l'algorithme d' Euclide qui s'arrête au bout d'un nombre fini de divisions et on obtient sa fraction continue.
Dans l'exemple les 4 chiffres signifient , géométriquement, qu'on a 1 pavage avec 1 carré de plus grand coté (ici 10) puis 1 carré de coté 7=17-10, puis 2 carrés de coté 3=10-7 et 3 carrés de coté 1=7-2x3.
On peut donc aussi, à partir d'une fraction continue, obtenir un rectangle pavé en carrés et le quotient correspondant.
Prenez deux nombres entiers au hasard et faites le pavage, la décomposition en fraction continue etc....et réciproquement.
Que se passe-t-il si les cotés du rectangle ne donnent pas un quotient d'entiers ?
Par exemple si la largeur est 1 et la longueur le nombre d'or ?
Mots clés