Nombres magiques - Collège Sainte-Marie (Langon)

On appelle nombre magique un nombre dont le carré, c’est-à-dire le nombre multiplié par lui-même, est symétrique par le milieu, comme par exemple 307, qui vérifie 307×307 = 94249.
Comment en construire d’autres ?
Est-il possible de construire des familles de tels nombres (par exemple 1, 11, 111, 1111, etc) ? Ces familles sont-elles infinies ?