Mots binaires équilibrés - Collège Jean Jaurès (Calais)

On se donne un mot binaire constitué des symboles 0 et 1. A partir de ce mot, on construit un nouveau mot plus court, qu'on appelle "mot dérivé", en remplaçant chaque paire consécutive de deux symboles par leur "somme" définie ainsi : 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, et 1+1=0.
Par exemple, si le mot de départ est 001011, alors son mot dérivé est 01110. Ensuite on répète plusieurs fois jusqu'à tomber sur un mot de longueur 1.
On forme un "triangle dérivé".

Question : Peut-on trouver des mots dont le triangle dérivé soit "balancé", c'est-à-dire contienne autant de 0 que de 1 ?

But : Construire des mots équilibrés aussi longs que possible.