Les tours sur l’échiquier en 3D - Lycée Condorcet (Montreuil)

Les tours sur l'échiquier en 3D.
Vous connaissez peut-être le problème de placer un maximum de dames sur un échiquier pour que deux d’entre elles ne se menacent pas. On peut remplacer les dames par d’autres pièces d’échecs, mais avec les tours, qui contrôlent leur ligne et leur colonne, il n’y a aucune difficulté et le problème n’est pas intéressant. Et si on passe en 3D ?
L'échiquier à trois dimensions est un cube partagé en n x n x n cases, chacun des côtés étant divisé en n intervalles égaux. Une "tour" contrôle les trois lignes de cases passant par la case où elle se trouve et parallèles aux côtés.
On se demande :
• Combien au maximum peut-on placer de tours, et comment doit-on les placer, de façon qu'aucune d'elles n'en menace une autre ?
• Combien au minimum faut-il en placer, et comment, de façon qu'ensemble elles contrôlent toutes les cases de l'échiquier ?