Les couleurs de l'automne - Collège Villey Desmeserets (Caen)

On considère un arbre de mathématicien : de chaque nœud, il y a deux branches qui partent. Les extrémités finales des branches sont les feuilles de l’arbre (on peut ou non considérer la racine comme une feuille). On peut colorier les branches de cet arbre avec trois couleurs, de sorte que chaque nœud soit la jonction de trois branches de couleurs différentes.
Sur cet arbre colorié, on part de la racine et on parcourt toutes les feuilles dans l’ordre des aiguilles d’une montre : ceci nous donne une séquence avec les couleurs rencontrées. Maintenant, pour une séquence de couleurs donnée, on peut essayer de retrouver un arbre ayant cette séquence... s’il en existe ! Pour un tout petit arbre avec seulement deux feuilles, on devine que les seules séquences possibles sont les séquences ayant deux couleurs différentes, et on voit bien que toutes les séquences ne correspondent pas nécessairement à un arbre.
On aimerait décrire les mots pour lesquels il existe un arbre ou pour lesquels il n’en existe pas. On peut aussi envisager de s’intéresser aux mots pour lesquels il existe un arbre de forme particulière, tel qu’un arbre peigne (Un tronc et que des feuilles) ou un arbre équilibré (toutes les branches ont le même nombre de nœuds).