Les carrés antimagiques - Lycée Aubanel (Avignon)

La notion de carré magique est bien connue. On propose ici d’étudier les carrés antimagiques.
On se donne un entier n ≥ 2 et un tableau à n lignes et n colonnes. Fabriquer un carré antimagique c’est remplir ce tableau en respectant deux règles :
− chaque case doit contenir l’un des trois nombres −1, 0 ou 1 ;
− quand on calcule la somme des nombres sur chaque ligne et la somme des nombres sur chaque colonne, on obtient 2n quantités qui sont deux à deux distinctes.
Pour n = 2, un exemple est donné par la grille
0 -1
1 1
La question naturelle (et ouverte !) est de trouver les valeurs de n pour lesquelles il existe un carré antimagique. Par exemple est-ce possible pour n = 3 ? n = 4 ?
Dans ce genre de problème, il est utile de connaître des techniques qui permettent de fabriquer des carrés antimagiques à partir d’un carré antimagique donné. Par exemple on vérifie facilement qu’en échangeant deux colonnes d’un carré antimagique on obtient de nouveau un carré antimagique. Peut-on imaginer d’autres transformations simples qui ont cette propriété ? Pour n = 2, tout carré antimagique s’obtient-il à partir de l’exemple ci-dessus en appliquant ces transformations ?
On peut également définir et étudier les rectangles antimagiques. Par exemple existe-t-il un rectangle antimagique à 3 colonnes et 2 lignes ?