Les calculs sont bons - Centre scolaire Saint-Benoît Saint-Servais (Liège)

Un mercredi après-midi, Eliott s’ennuie à la maison. Normalement, il devait aller jouer au foot, mais la météo exotique belge en a malheureusement décidé autrement. Pour essayer d’égayer la journée de son fils, son papa mathématicien lui propose le jeu suivant.
Sur sa tablette, il ouvre l’application "Notes", trace un segment au milieu de la page, et inscrit les nombres 0 et 1 dans des cercles à ses extrémités. Il lui donne ensuite la consigne suivante : "Commence par dessiner, au milieu de ce segment, un nouveau cercle où figure la somme des nombres présents à ses extrémités. Continue ensuite le procédé en plaçant, au milieu de chacun des segments délimités par des cercles numérotés, un nouveau cercle contenant la somme des nombres présents à ses extrémités." Pour l’aider, il lui montre les premières étapes :
0 -1
0 -1- 1
0 -1- 1-2-1
Il lui pose alors les questions suivantes :
⋆ Que vaut la somme des nombres présents à la 20e étape ? Et à l’étape n, pour un n ∈ N donné ?
⋆ Que se passe-t-il si on change les valeurs de départ ?
⋆ Mêmes questions si, au lieu d’additionner, on multiplie les valeurs aux extrémités.