Les bons nombres (font les bons amis ?) - Collège François Mitterrand (Toulouges)

On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est ’bon’ s’il peut s’écrire comme la somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1. On dit qu’il est ’mauvais’ s’il n’est pas ’bon’.
• Déterminer pour chacun des nombres entiers de 2 `a 10 s’il est ’bon’ ou ’mauvais’.
• Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est ’bon’.
• Montrer que si n est ’bon’, alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont ’bon’.
• On admet que tous les nombres entiers de 24 `a 55 sont ’bon’. Qu’en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ?