Le sens de l’équilibre - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)

Soit n et p deux entiers strictement positifs. On considère une figure constituée de n droites et p
plots où on désigne par plot un point particulier placé sur (au moins) une des droites.
On dit qu’une telle figure est équilibrée si, sur chacune des droites, se trouvent exactement 3 plots.
On considère désormais une figure équilibrée.
On numérote les p plots par les entiers de 1 à p.
On dit que cette numérotation est magique s’il existe un entier M tel que la somme des trois entiers
de chaque droite est égale à M.
L’entier M est alors appelé constante magique de la numérotation.
1. Étudier différentes figures équilibrées.
2. Pour une figure équilibrée donnée, existe-t-il nécessairement une numérotation magique ?
3. Pour une figure équilibrée admettant une numérotation magique, que peut-on dire de la constante
magique ?