Le partage inégal en parts égales - Lycée Cordouan (Royan) Lycée Valin (La Rochelle)

On veut partager une tarte entre n personnes avec les contraintes suivantes :
— chaque part doit avoir une taille différente des autres ;
— toute la tarte doit être distribuée ;
— la taille d’une part est un diviseur entier de la taille de la tarte complète.
C’est-à-dire qu’il y a un entier k telle que la part corresponde à ce qu’on aurait obtenu en
coupant la tarte en k parts égales.
1. Est-ce toujours possible ?
2. Lorsque c’est possible, y a-t-il plusieurs solutions ?
3. Peut-on donner le nombre de solutions en fonction de n ?