L’art de la fête - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)

Soit a un nombre réel strictement positif. On considère que lors d’une soirée les invités arrivent un par un et que personne ne quitte la soirée avant l’extinction des feux. Soit n un entier strictement positif. A l’instant n, le n-ième invité arrive. Les n − 1 invités arrivés avant lui sont répartis en un ou plusieurs groupes. On suppose qu’avec une probabilité de a/(a+n-1), le n-ième invité reste seul et avec une probabilité de k/(a+n-1) il rejoint un groupe composé de k personnes (k étant un entier compris entre 1 et n − 1). Une fois qu’il a rejoint un groupe, l’invité ne le quitte plus jusqu’à la fin de la soirée.
Comment évolue la soirée ? À un instant donné , comment se répartissent les groupes en général ?