La monnaie de l'empereur - Lycée Jules Ferry (Paris)

Dans un pays très lointain, deux forgerons concurrents, notés A et B, sont responsables de la fabrication des pièces de monnaie. L’empereur impose les règles suivantes pour réguler la concurrence féroce entre les deux individus :
— dans ce pays, le nombre 1 porte malheur, rendre la monnaie est interdit, et tous les prix doivent être des nombres entiers positifs.
— chaque forgeron choisit, en alternance, un entier k ≥ 1 et obtient le droit de fabriquer en grande quantité des pièces de valeur k. La seule contrainte sur l’entier k est que les pièces de valeur k ne soient pas inutiles, c’est-à-dire que l’on ne puisse pas payer la somme k à l’aide des autres pièces déjà fabriquées.
— le forgeron qui est obligé de choisir la valeur 1 est frappé par la malédiction et doit laisser la place à son concurrent.
Est-on sûr que ce procédé fournit un vainqueur en un temps fini ? Le nombre de valeurs différentes choisies peut-il être arbitrairement grand ? Comment pourriez-vous conseiller les forgerons pour remporter le marché ?