Jeu des bâtonnets - Association Science Ouverte (Drancy)

Deux joueurs A et B jouent avec un bâton de longueur 𝑛 entière, au moins égale à deux (les longueurs sont en centimètres). Le joueur A casse le bâton en deux parties de longueurs entières mais différentes. Ensuite, le joueur B casse l’un des deux bâtons en deux parties de longueurs entières non nulles et distinctes.
Les deux joueurs jouent ainsi alternativement jusqu’à ce que ce soit devenu impossible. Alors, le bâton initial est cassé en 𝑛1 bouts de 1 cm et 𝑛2 bouts de 2 cm.
- Si 𝑛1 > 𝑛2, le dernier joueur ayant joué est vainqueur.
- Si 𝑛1 < 𝑛2, le joueur n’ayant pas joué en dernier est vainqueur.
- Si 𝑛1 = 𝑛2, la partie est nulle.
Est-ce que le jeu se termine nécessairement et quels sont alors les nombres minimum et maximum d’étapes en lesquels il peut terminer ?
Supposons que A et B jouent au mieux. Vaut-il mieux jouer en premier ou en second ?