Insomnie - Lycée Le Likès (Quimper)

Un soir un élève ne parvient pas à s'endormir et regarde son réveil matin.
Pour s'occuper il décide de calculer la somme du nombre indiquant les heures avec celui indiquant les minutes. Ensuite il additionne les chiffres du résultat obtenu. Si ce résultat s'écrit avec plusieurs chiffres, il additionne à nouveau les chiffres jusqu'à aboutir à un chiffre unique.
Toujours pas endormi, il décide d'additionner les chiffres du nombre indiquant les heures, et fait de même pour le nombre indiquant les minutes. Il additionne les deux résultats, et si la somme s'écrit avec plus d'un chiffre, il additionne les chiffres.
Il constate que le chiffre obtenu dans chacun des deux algorithmes de calcul est le même. Coïncidence? Une chance sur 10.
Refaisant les deux mêmes algorithmes dans un cas différent, il trouve encore les deux mêmes chiffres. Coïncidence? Une chance sur 100...
A chaque fois il constate que les deux chiffres sont identiques. Coïncidence? Une chance sur 10^n!
Stupéfait de cette constatation étrange, il ne parvient plus du tout à dormir!
Tentons de résoudre le mystère pour lui permettre de retrouver le sommeil.