Fabrique de puzzles - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)

On veut fabriquer des puzzles. A partir de pièces carrées de coté fixé, on est autorisé à modifier les cotés en enlevant un triangle ou en ajoutant un triangle de sorte que les pièces s'emboîtent parfaitement.
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non unique ?
Un puzzle est original s'il n'a pas deux pièces identiques.
Quel est le nombre maximal de pièces que peut contenir un puzzle original? Quelles contraintes sur m et n pour pouvoir fabriquer un puzzle unique et original ?