Étude de la finalité des nombres - Collège Fernand Léger (Saint-Martin d'Hères)

Prenons un nombre entre 10 et 99 (par exemple 77) et multiplions les deux chiffres qui le composent (7 × 7 = 49). Si nous avons encore un nombre entre 10 et 100, nous recommençons jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre :
77 → 49 → 36 → 18 → 8. (1)
Dans notre exemple, le chiffre 77 mène à 8, on dira alors que 77 est un antécédent de 8 et que 8 est la finalité de 77 (ici, 8 est également la finalité de 49, 36 et 18). Enfin, on parlera de chaîne pour parler de la suite de chiffres obtenue (comme dans le cas de (1)).
Est-on sûr que que chaque nombre possède une finalité ? Ou est-ce qu’une chaîne peut avoir des nombres qui sont toujours plus grands ? Ou alors, un nombre qui va créer un cycle (c’est-à-dire qu’à un moment on retombe sur un chiffre déjà présent dans la chaine) ? Est-ce que tous les chiffres possèdent un antécédent ? Est-ce qu’il y a des chiffres qui reviennent plus souvent que d’autres comme finalité ?