Drôles de droites - Collège du Village (Evry)

On considère un rectangle, dont la longueur et la largeur ont des valeurs entières ( N ). Une fourmi échappée
d’un cube se déplace dans le rectangle en respectant les règles suivantes :
• Elle part du coin en bas à gauche du rectangle ( ce dernier ayant ses longueurs à l’horizontale ).
• Elle suit toujours la même direction, inclinée de 45 degrés par rapport à l’horizontale ( Longueur ).
• Quand la fourmi arrive sur la Longueur opposée, elle repart vers la Longueur du départ, à partir d’où elle était arrivée suivant un angle droit ( depuis la longueur opposée à celle du départ ). Si elle rencontre une largeur du rectangle, elle repart vers l’autre largeur à angle droit., suivant donc une direction parallèle aux longueurs.
En résumé, au niveau des changements de direction elle alterne un angle de 45◦, puis 90◦, puis 45◦, puis 90◦,etc.... .
• On se demande si la fourmi peut revenir à son point de départ, et si c’est le cas, au bout de combien de temps elle y arrive ?
• On se demande aussi si elle passe ou non par tous les points de l’intérieur du rectangle ( rappelons que la mesure des dimensions ( L et l ) sont des nombres entiers N ) ?
• On essaiera également de construire un modèle en papier de ce drôle de rectangle, en collant les largeurs ensemble, ainsi que les Longueurs.
• On étudiera aussi diverses généralisations de ce problème : par exemple, si au lieu de partir d’un rectangle, on part d’un parallélogramme dont les sommets ont des coordonnées entières, ou d’un hexagone dont tous les sommets ont des coordonnées entières et tel que ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.