Drôle d’addition - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)

On considère la règle d’addition ⊕ sur l’ensemble E = {0, 1, 2} définie comme suit :
On a :
0 ⊕ 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1
0 ⊕ 2 = 2
1 ⊕ 1 = 2
1 ⊕ 2 = 0
2 ⊕ 2 = 1

On construit alors des triangles formés de nombres choisis parmi 0, 1 et 2 de la manière suivante :
- on part d’une suite finie de chiffres, par exemple : 0, 1, 2, 2,
- on ajoute sous chaque paire de nombres consécutifs leur somme pour la règle d’addition ⊕,
- on poursuit cette construction de ligne en ligne.
Ainsi, avec la suite donnée en exemple, on obtient le triangle :
0 1 2 2
1 0 1
1 1
2
On dit que ce triangle est de taille 4 car il contient 4 chiffres sur sa première ligne.
Lorsqu’un triangle ainsi construit contient autant de fois le chiffre 0 que le chiffre 1 et le chiffre 2,
on dit qu’il est équilibré.
Le triangle ci-dessus contient 5 fois le chiffre 1 et seulement 2 fois le chiffre 0 : il n’est pas équilibré.
— Peut-on trouver un triangle de taille 4 équilibré ?
— Peut-on trouver un triangle de taille 3 équilibré ?
— Peut-on trouver un triangle de taille 6 équilibré ?
— Que se passe-t-il pour d’autres tailles de triangle ?