Des parts inégales - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)

On appelle fraction unitaire une fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un
entier strictement positif.
Considérons l’assertion suivante :
P : Toute fraction d’entiers strictement positifs peut s’écrire comme une somme de fractions unitaires
dont les dénominateurs sont tous distincts.
Par exemple, on peut écrire 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30.
1. La phrase P est-elle vraie ?
2. Si la réponse est oui, étudier, pour une fraction donnée,
(a) comment on trouve une telle décomposition,
(b) le nombre de décompositions possibles,
(c) le nombre minimal de fractions unitaires permettant cette décomposition.