Des nombres remarquables - Lycée Jean Vilar (Villeneuve-lès-Avignon) Lycée Aubanel (Avignon)

Un nombre entier n est dit remarquable si il peut s’écrire comme la différence de
deux carres parfaits : n = p^2-q^2, avec p et q éléments de N. Ainsi 11 et 12 sont des
nombres remarquables, puisqu'on a
11 = 36-25 = 6^2-5^2 et12 = 16-4 = 4^2-2^2:
Pour se familiariser avec ces nombres, on peut commencer par déterminer tous les
nombres remarquables compris entre 1 et 20. Il est ensuite naturel de se demander si
il existe un critère simple qui permet de dire si un nombre entier n est remarquable
ou pas. Si il l'est, on aimerait avoir une méthode pour trouver deux entiers p et q
qui vérifient n = p^2-q^2. Un autre problème est de savoir si ces entiers p et q sont
uniques. On peut également regarder si la somme ou le produit de deux nombres
remarquables est encore un nombre remarquable.