Des nombres en couleur - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)

Soit n un entier au moins égal à 1. On dispose de deux couleurs : bleu et rouge. Pour tout n ∈ N∗, colorier les entiers compris entre 1 et n signifie écrire chacun d’eux soit en bleu, soit en rouge. Pour un entier strictement positif n fixé, on s’intéresse aux triplets de la forme (a, b, a + b) où a et b sont deux entiers compris entre 1 et n tels que a + b soit aussi compris entre 1 et n. Un tel triplet est dit monochromatique si les trois entiers a, b, et a + b sont de la même couleur.
1. Soit n ∈ N∗. Si on effectue un coloriage arbitraire des entiers compris entre 1 et n, trouve-t-on nécessairement un triplet de la forme (a, b, a + b) monochromatique ?
2. Quel est le plus grand entier n tel qu’on puisse trouver un coloriage dans lequel aucun triplet de la forme (a, b, a + b) n’est monochromatique ?
3. Et si on considère trois couleurs ? Quatre couleurs ? …