Des longueurs de triangle étonnantes - Collège les Hauts de Blémont (Metz)

Existe-t-il des triangles dont les longueurs des côtés et des hauteurs soient des nombres entiers, ou
décimaux, ou rationnels ?
On pourra étudier la même question en remplaçant hauteur par médiane.
Remarque : puisqu'il faut mesurer des longueurs de segment, on considèrera les segments associés
aux droites remarquables du triangle. Par exemple, pour la hauteur, on considère le segment reliant
un sommet au pied de la hauteur passant par ce sommet.
On pourra également étudier la même question pour un quadrilatère, en considérant les longueurs
de ses côtés et de ses diagonales.