Décorations - Lycée Alfred Kastler (Talence) Lycée Vaclav Havel (Bègles)

Cathy, Nadine et Philippe préparent les décorations de Noël. Cette année, ils décident de préparer des arbres en papier décorés par des numéros.
Les arbres de nos compagnons sont particuliers. Ils reproduisent une espèce rare d’arbre, que seuls les mathématiciens font pousser dans leurs jardins. Déjà, ils poussent de haut en bas. Ensuite, lorsque l’arbre naît, il possède une unique branche, avec, à son bout, un nœud. Cette toute première branche est appelée la racine de l’arbre.
Lorsqu’une branche d’un arbre pousse, le nœud situé au bout de la branche peut produire :
— une branche gauche et une branche droite, toutes deux terminées, par un nœud ;
— une seule branche gauche qui se termine par un nœud (et donc pas de branche à droite) ;
— une seule branche droite qui se termine par un nœud (et donc pas de branche à gauche).
Cathy, Nadine et Philippe souhaitent produire, en papier, plein d’arbres en décorant les nœuds avec des entiers.
La façon de décorer fait débat. Pour Cathy, il faut que les numéros soient tous différents, commencent à 1, et croissent au fur et à mesure que l’arbre grandit.
Combien d’arbres à N nœuds, ainsi décorés, est-il possible de construire ?