Établissement
Lycée Jules Ferry (Paris)
Année
2024-2025
Résumé
On s’intéresse à deux suites de nombres (entiers positifs) définies de façon surprenante :
• étant donnée une suite (un), on lui associe une suite (vn) de la façon suivante : le premier terme v1 est égal au nombre de fois que le premier terme u1 se repète sans interruption au début de la suite (un). Puis v2 est égal au nombre de fois que le terme suivant dans (un) se répète sans interruption. Etc ... Autrement dit, la suite (vn) est formée de la taille des blocs successifs apparaissant dans la suite (un). On cherchera des suites (un) qui sont égales à la suite (vn) qui leur est associée : combien y en a-t-il ? Peut on les décrire simplement ? Sont-elles périodiques ? Quelles sont les nombres apparaissant dans une telle suite, et quelles sont les fréquences d’apparition de ces nombres ?
Par exemple, si (un) = (1,2,1,2,3,3,4,1,1,1,2,2,3,4,...), alors (vn) = (1,1,1,1,2,1,3,2,1,...). • étant donnée une suite (un), on lui associe une suite (vn) de la façon suivante : le premier terme v1 est égal à 1, puis pour tout k ≥ 2, le terme vk est égal au nombre maximal de blocs de nombres qui se répètent juste avant uk+1 (non inclus) dans la suite (un). On cherchera des suites (un) qui sont égales à la suite (vn) qui leur est associée : combien y en a-t-il ? Peut on les décrire simplement ? Sont-elles périodiques ? Quelles sont les nombres apparaissant dans une telle suite, et quelles sont
les fréquences d’apparition de ces nombres ?
Par exemple, si (un) = (1,2,1,2,3,3,4,1,1,1,2,2,3,4,...), alors (vn) = (1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,3,1,2,1,...).
• étant donnée une suite (un), on lui associe une suite (vn) de la façon suivante : le premier terme v1 est égal au nombre de fois que le premier terme u1 se repète sans interruption au début de la suite (un). Puis v2 est égal au nombre de fois que le terme suivant dans (un) se répète sans interruption. Etc ... Autrement dit, la suite (vn) est formée de la taille des blocs successifs apparaissant dans la suite (un). On cherchera des suites (un) qui sont égales à la suite (vn) qui leur est associée : combien y en a-t-il ? Peut on les décrire simplement ? Sont-elles périodiques ? Quelles sont les nombres apparaissant dans une telle suite, et quelles sont les fréquences d’apparition de ces nombres ?
Par exemple, si (un) = (1,2,1,2,3,3,4,1,1,1,2,2,3,4,...), alors (vn) = (1,1,1,1,2,1,3,2,1,...). • étant donnée une suite (un), on lui associe une suite (vn) de la façon suivante : le premier terme v1 est égal à 1, puis pour tout k ≥ 2, le terme vk est égal au nombre maximal de blocs de nombres qui se répètent juste avant uk+1 (non inclus) dans la suite (un). On cherchera des suites (un) qui sont égales à la suite (vn) qui leur est associée : combien y en a-t-il ? Peut on les décrire simplement ? Sont-elles périodiques ? Quelles sont les nombres apparaissant dans une telle suite, et quelles sont
les fréquences d’apparition de ces nombres ?
Par exemple, si (un) = (1,2,1,2,3,3,4,1,1,1,2,2,3,4,...), alors (vn) = (1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,3,1,2,1,...).