Condorcet au hasard - Lycée Condorcet (Montreuil) Association Science Ouverte (Bobigny), Lycée Jean Jaurès (Montreuil)

Condorcet avait remarqué que dans une élection où on demande aux électeurs de classer trois candidats, A, B et C, il peut y avoir une majorité d’électeurs qui préfèrent A à B, une majorité qui préfère B à C et aussi une majorité qui préfère C à A, d’où la difficulté de trouver un principe de scrutin qui soit juste. C’est le paradoxe de Condorcet.
Ce paradoxe se rencontre dans beaucoup d’autres situations. On propose de s’intéresser à deux jeux de hasard.
1. Alex et Betty jouent aux dés.
Betty a préparé trois dés en inscrivant sur les faces les nombres de 1 à 18, sans prendre deux fois le même. Elle demande alors à Alex de choisir l’un des trois dés, puis elle choisit l’un des deux autres. Ils font une série de lancers chacun de son dé, simultanément, et à chaque lancer celle ou celui qui a tiré le plus grand nombre marque un point.
Comment Betty a-t-elle pu préparer les dés pour gagner le plus souvent quel que soit le choix d’Alex ?
2. Alex prend sa revanche à pile ou face.
Alex propose à Betty de choisir une séquence de trois « pile » (P) ou « face » (F), par exemple PPF ou FPF, puis Alex en choisit une différente. Ensuite ils font une série de lancers de la pièce jusqu’à obtenir l’une des deux séquences dans l’ordre. Celui dont la séquence apparaît en premier marque un point. Par exemple si Alex a choisi PPF et que les 2e et 3e lancers donnent pile et le 4e face, il a gagné le point, sauf si la séquence de Betty est déjà sortie aux 3 premiers lancers. Et ils recommencent un grand nombre de fois…
Comment Alex peut-il choisir sa séquence pour ne jamais partir perdant ?