Coder un rectangle par des carrés - Collège Sainte-Marie (Langon)

Pour caractériser la forme d’un rectangle, on considère souvent le rapport longueur/largeur. Par exemple, un écran 16/9 est un écran rectangulaire dont la proportion longueur/largeur est égale à 16/9. Ces écrans peuvent être grands ou petits, mais ils ont tous la même forme.
En reportant la largeur sur la hauteur si elle est plus grande (en pliant ou avec le compas), et le contraire sinon, on divise le rectangle en un carré et un rectangle plus petit. On regarde ce nouveau rectangle et on recommence. Par exemple avec un rectangle de 16 par 9, le découpage comprend successivement 1 carré pris dans la largeur, 1 dans la hauteur, 3 dans la largeur, 2 dans la hauteur puis on s’arrête puisqu’il ne reste plus rien. On code alors 1-1-3-2.
Questions :
• Comment retrouver les proportions des rectangles à partir de leurs codages ?
• Si on part de n’importe quelle forme, est-on sûr que le découpage s’arrête ?
• Comment comparer deux nombres si on connait juste leur codages ?