Café ou Chocolat ? Suite de 0 et 1 sans cube - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)

Nous, construisons des mots écrits avec un alphabet constitué seulement des deux symboles 0 et 1. Nous avons constaté de manière évidente qu’il y avait forcément des carrés dès que la longueur du mot atteint 4 symboles.
Puis nous avons essayé de construire un mot le plus long possible sans cube. C’est difficile.
Notre chercheuse nous a alors demandé d’étudier le mot de longueur infinie obtenu par substitution de 0 en 01 et de 1 en 10. Nous démontrons que ce mot ne contient aucun cube et cela nous permet de résoudre le problème du choix du café ou du chocolat au petit déjeuner.
Sur le logiciel Géotortue, nous avons programmé une illustration géométrique de cette suite de 0 et 1 et obtenu une figure fractale. Cette illustration géométrique nous permet aussi d’affirmer que cette suite ne contient pas de cube.
Nous avons alors essayé de construire un mot le plus long possible, écrit avec un alphabet constitué de trois symboles 0, 1 et 2 sans carré pour répondre à la dernière question.