Boucles de nombres - Collège de l’Étang de l’Or (Mauguio) Collège Frédéric Mistral (Pérols)

On considère l’opération suivante sur un nombre entier : à un entier on crée la somme des carrés de ses chiffres. Par exemple pour 352, on crée le nombre 3x3 + 5x5 + 2x2 = 38. Si on recommence cette opération sur 38, on obtient 73, puis 58, 89. On peut remarquer que 89 boucle sur le cycle {4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Mais est-ce le cas pour tous les nombres ? Que se passe t-il si on considère l’opération où l’on fait simplement la somme des chiffres ?