L'énigme de Goldbach, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

Une autre question se pose : connaissant une décomposition de n sous la forme n = p + q avec p et q premiers, peut-on en déduire la décomposition de n + 2 ?

Pour ajouter 2 à n, on peut ajouter 2 à p, 2 à q ou 1 à p et 1 à q.

[...] En ajoutant 1 à un nombre impair [plus grand que 1] on obtient un entier pair qui n'est pas premier. Le dernier cas [ajoût de 1] ne concerne [donc] que l'entier 4 car : 4 = 2 + 2, décomposition unique, [donnant 6 = 3 + 3].

Mais [en poursuivant la progression à partir de 4=2+2 on obtient :]

6 = 4 + 2 [non retenu car 4 n'est pas premier] = 3 + 3

8  = 5 + 3 ou 8 = 3 + 5

10 = 7 + 3 ou 10 = 5 + 5

12 = 9 + 3 [non retenu car 4 n'est pas premier] ou 12 = 7 + 5

14 = 9 + 5 [non retenu car 4 n'est pas premier] ou 14 = 7 + 7

16 = 9 + 7 ou 16 = 7 + 9

Aucune de ces décompositions de 16 ne convient, or 16 = 3 + 13 ou 16 = 5 + 11, décompositions qui répondent à la question d'Euler, mais qui ne peuvent être obtenues à partir de la décomposition de l'entier 4. [voir note 2]

Autre exemple : 858 = 419 + 439 (avec la contrainte [de la représentation] n°2 )

860 = 421 + 439 ou 860 = 419 + 441 or 441 =3² x 7²

862 = 423 + 439 ou 862 = 421 + 441 or 441 n'est pas premier

864 = 425 + 439 or 425 n'est pas premier

Cet essai n'est pas concluant. Aurait-on obtenu un meilleur résultat avec une autre décomposition de 858 ?

858 = 853 + 5 (avec la contrainte [de la représentation] n°1 )

860 = 855 +5 ou 860 = 853 + 7

862 = 855 +7 ou 862 = 853 + 9 or ni 855 ni 9 ne sont premiers.

Donc cette écriture de 858 ne donne pas de meilleurs résultats.

Sachant qu'il y a 149 entiers premiers inférieurs à 858, combien y a t-il de décompositions de 858 ? En existe t-il une qui permettrait d'aboutir ? Cette question est restée sans réponse. [voir note 2]

suite : 5. Conclusion [et notes]

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

© MATh.en.JEANS 2001. Tous droits réservés.