L'énigme de Goldbach, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

Dans un deuxième temps, on a essayé d'utiliser une propriété des nombres premiers à savoir :

[Proposition]            " Si  p est premier il ne peut s'écrire que sous la forme  p = 6k + 1 ou p = 6k &endash; 1. "

[Preuve] En effet, dans la division euclidienne par 6, il y a six restes possibles 0, 1, 2, 3, 4, 5 i.e.

• p= 6k 6k est divisible par 6, donc non premier
• p= 6k+ 1
• p= 6k+ 2 6k+ 2 est divisible par 2 donc non premier
• p= 6k+ 3 6k+ 3 est divisible par 3 donc non premier
• p= 6k+ 4 6k+ 4 est divisible par 2 donc non premier
• p= 6k+5 =6 ( k+1 ) &endash;1 = 6k'-1

Donc si p est premier, il est nécessairement de la forme 6k + 1 ou 6k &endash; 1.

[Remarque]. La réciproque de la proposition est fausse. En effet : 6x8 +1 = 49 [et] 6x11 &endash; 1 = 65, or 49 et 65 ne sont pas premiers.

Donc, si p et q sont premiers, alors n est de la forme :

1. n= (6k'+ 1) + (6k"&endash; 1 ) i.e. n= 6k
   ou
2. n = (6k'+ 1) + (6k"+ 1 ) i.e. n= 6k+ 2
   ou
3. n = (6k'- 1) + (6k"&endash; 1 ) i.e. n= 6k&endash; 2

En reprenant les graphiques précédents, on a attribué une couleur différente aux trois formes obtenues pour n pair, à savoir : 6k, 6k + 2, 6k &endash; 2. [On remarque que tout nombre pair peut effectivement s'écrire sous l'une de ces trois formes, vu qu'il est le double d'un nombre n' de la forme 3k, 3k + 1 ou 3k &endash; 2, suivant les trois restes possibles de la division de n' par 3]. On a tenté d'observer des particularités dans la disposition des couleurs, mais il n'y a pas eu de grands résultats. (graphiques 3 et 4)

Graphique 3

suite : 4. Hérédité d'une décomposition

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

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