L'énigme de Goldbach, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

Si  p et q sont deux entiers premiers strictement supérieurs à 2, alors  p et q sont impairs et la somme  p + q est paire.

Réciproquement si  n est un entier pair, peut-on trouver un couple ( p, q) de nombres premiers tel que  n = p + q ?

Exemple :3002 = 1501 + 1501, mais 1501 n'est pas premier car 1501 =19x77

3002 = 3 + 2999 avec 3 et 2999 premiers

3002 = 1471 + 1531 avec 1471 et 1531 premiers

Donc, si un entier pair n est la somme de deux entiers premiers, cette décomposition n'est pas unique [en général].

Peut-on en trouver au moins une, quel que soit n pair ?

Pour essayer de répondre à cette question, on a utilisé des représentations graphiques

Dans un repère orthogonal dont les axes sont munis d'une échelle de nombres premiers, on représente chaque entier pair par le point de coordonnées (p, q ), avec p et q premiers.

Représentation n°1 : on choisit la décomposition de n qui donne la plus petite ordonnée possible (graphique 1).

Représentation n°2 : on choisit la décomposition de n avec p et q proches de n/2 et tels que soit le plus petit possible (graphique 2 ).

Dans chacun des cas, le nuage de points obtenu ne présentait pas de particularité telle qu'une périodicité. Cette démarche graphique n'a pas donné de résultats satisfaisants.

suite : 3. Utilisation des restes dans la division euclidienne par 6

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

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