L'énigme de Goldbach, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

Notre première démarche a été de chercher le lien qui existe entre les deux questions.D'abord, Euler parle d'entiers pairs. Il faudra donc faire la distinction entre entiers pairs et impairs pour l'énigme de Goldbach.

 
1. soit l'entier n est pair :

   Un entier pair est soit la somme de trois entiers pairs s'il est supérieur ou égal à 6 (car le plus petit nombre pair est 2), soit celle de deux impairs et d'un pair s'il est supérieur ou égal à 4. En effet, tout entier pair supérieur ou égal à 4 est somme de deux entiers pairs et tout entier pair supérieur ou égal à 2 est somme de deux entiers impairs.

   Mais le seul entier pair premier est 2, par conséquent, la décomposition d'un entier pair en la somme de trois entiers pairs premiers ne peut être appliquée qu'à l'entier 6 (6=2+2+2). Ainsi, nous pouvons restreindre l'étude du cas pair à celle des entiers pairs décomposables en la somme de deux entiers impairs et d'un entier pair qui, comme nous l'avons vu précédemment, est nécessairement 2. Or, n étant un entier pair supérieur ou égal à 4, n-2 est aussi pair. Nous montrons ainsi que dans le cas des pairs, l'énigme de Goldbach revient à montrer que l'entier pair n-2 est la somme de deux nombres premiers, ce qui correspond à l'énigme d'Euler.

2. soit l'entier choisi est impair :

   Un entier impair est un entier pair augmenté de 1. Il peut donc se décomposer soit en une somme de trois entiers impairs, soit en la somme de deux entiers pairs et d'un entier impair. Le problème revient donc à décomposer n soit comme somme de 3 entiers impairs premiers soit de 2 entiers pairs premiers et d'un entier impair premier. Le seul nombre premier pair est 2 donc

   si n-4 est premier alors la décomposition est acquise en n = (n-4 ) + 2 + 2

   si n-4 n'est pas premier, on cherche la décomposition de n comme somme de 3 premiers impairs n = p + q + r. Dans cette dernière recherche, nous constatons que si r est un entier premier et impair, alors n-r est pair et cela revient encore à l'énigme d'Euler

Nous nous sommes donc concentrés sur l'énigme d'Euler qui est une condition suffisante [voir note 1] pour prouver celle de Goldbach.

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Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

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