L'énigme de Goldbach, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

Nous n'avons donc pas répondu à Euler mais d'autres pistes pourraient être explorées, par exemple :soit n un entier pair, P_n l'ensemble des nombres premiers inférieurs à n et L_n l'ensemble des nombres obtenus par la somme de deux éléments de P_n. Existe-t-il un lien autre que celui de l'inclusion entre L_n et L _n+2 ? [voir à ce propos la note 2]

1. En fait, cette condition est également nécessaire et les énigmes de Goldbach et d'Euler sont équivalentes : en effet, supposons, avec Golbdbach, que tout entier5 soit la somme de trois nombres premiers et considérons un entier pair n quelconque,  n 4 ; l'entier  n+ 2  est somme de 3 entiers premiers dont l'un est nécessairement 2 (ainsi que les auteurs l'ont remarqué) , donc l'entier n lui-même est somme de 2 nombres premiers : la réponse à la question d'Euler est donc positive.

La formulation d'Euler est aujourd'hui connue sous la nom de conjecture de Goldbach.

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2. Les auteurs soulèvent, de fait, la question suivante, qui est, à notre avis, digne d'intérêt :
Problème. Tout nombre pair n6  admet-il une décomposition n= p+q en deux nombres premiers impairs, tels que p+2 soit également premier ?

En cas de réponse positive, une preuve paraît hors de portée de nos connaissances actuelles. En effet, outre une réponse positive à la conjecture de Goldbach, elle impliquerait aussi (on peut démontrer ce fait en utilisant un théorème simple de raréfaction des nombres premiers), la conjecture des nombres premiers jumeaux, qui affirme l'existence d'une infinité de couples de nombres premiers de la forme ( p, p+2).

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Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-08

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