Comptes Rendus MATh.en.JEANS 02-03

Tous les chemins mènent à Rome, mais combien y en a-t-il ?

Note 1. On trouvera en annexe le texte initial du sujet proposé. Il contient une 5ème partie, non discutée ici, sur "le marcheur ivre".

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Note 2. Ceci peut être formulé dans le langage des polynômes (avec lequel, évidemment, les auteurs ne sont pas encore familiers) : dans l'écriture complètement développée de (a+b)⁵ chaque terme est un monôme de degré 5 formés avec les variables a et b et avec, comme coefficient, le nombre 1. Un tel monôme, s'il comporte j fois la variable  a et  k fois la variable b (notez que j+k=5), peut s'écrire a^jb^k. En regroupant tous les monômes identiques, on obtient un polynôme dans lequel le coefficient de a^jb^k indique le nombre de fois où le monôme a^jb^k apparaissait dans l'écriture développée. La formule du binôme montre que ce coefficient vaut   5! / j! k!.

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Note 3. Pour prouver cette conjecture, il ne suffit évidemment pas de constater sa validité sur des exemples. On pourrait tenter de généraliser ce qui a été fait pour le réseau carré (voir note 2) et montrer une correspondance parfaite entre les chemins croissants de (0,0,0) à (x,y,z) et les termes qui, dans le développement de (a+b+c)^x+y+z vu comme polynôme avec les variables a, b et c, contiennent x fois a, y fois b et z fois c . Il suffirait alors de s'assurer que la formule du binome se généralise bien avec 3 variables au lieu de deux et donne effectivement (x+y+z) ! / x! . y! . z! comme coefficient du terme en a^xb^yc^z.

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Note 4. Il s'agit de la projection de l'espace "3D" sur le plan "2D" (formé des points ayant une troisième coordonnée nulle) parallèlement à la droite joignant l'origine (0,0,0) au point (1,1,1), d'où le titre de cette section "projection 3 vers 2 suivant (111)" . Sur la figure le point (0,0,0) est D' et (1,1,1) est F.

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