Tous les chemins mènent à Rome, mais combien y en a-t-il ?  ,  Comptes Rendus MATh.en.JEANS 02-03

3 Projection 3 vers 2 suivant (111) ! (Le réseau triangulaire)

Définition. On se pose le même problème dans un réseau triangulaire.

Sauf que là, le marcheur peut se déplacer dans 3 directions: 0°, 60° ou 120°

Exemple. Dans cette figure tous les chemins ne sont pas de même longueur. Pour aller du point O au point B il y a différents chemins : OB de longueur 1, OAB de longueur 2 et OCB de longueur 2 . Pour aller du point O au point A il n'y a qu'un chemin : OA de longueur 1 .

La question est de trouver un lien entre le réseau triangulaire et le réseau cubique. On a trouvé ce lien , c'est une projection. L'idée est de projeter un cube sur un réseau triangulaire. [note 4] Le point G se projette en G' Le point A se projette en A' F et D se projettent tous les deux au même endroit : D.

Si on considère que G est l'origine du réseau cubique et que G' est l'origine du réseau plan :

- pour aller de G' à D dans le plan (réseau triangulaire), c'est pareil que pour aller de G à D ou de G à F sur le cube.

Pour trouver le nombre de chemins de G' à D (dans le plan), il faut additionner le nombre de chemins pour aller de G à D sur le cube (2) et le nombre de chemins pour aller de G à F sur le cube (1) c'est à dire 2+1 chemins.

Ainsi, sur le cube, pour aller

de G à F ou C ou H, il n'y a qu'un chemin de longueur 1,
de G à B ou E ou D, il y a deux chemins de longueur 2,
de G à A, il y a 6 chemins de longueur 3.

Donc, dans le plan, pour aller

de G' à C' ou H', il n'y a qu'un chemin de longueur 1,
de G' à D, il y a trois chemins, comme nous l'avons vu plus haut.

Mais, de G' à B' ou H', il y a trois chemins :

G'C'B' qui correspond à GCB sur le cube,
G'DB' qui correspond à GFB sur le cube,
G'C'DB' qui ne correspond à rien sur le cube....

D'où problème, que nous n'avons pas eu le temps d'élucider. Avis aux amateurs.

De même, de G' à A', il y a neuf chemins dans le plan, alors qu'il n'y en a que 6 pour aller de G à A sur le cube.

Peut-être que notre idée n'était pas aussi bonne qu'il paraissait à première vue...

NOTES DES EDITEURS