Par définition , dans le plan, un triangle est une figure délimitée par trois points (et trois segments de droites). Cette configuration fait apparaître deux domaines, tous deux délimités par les trois segments de droites. Néanmoins, l'un est une surface d'aire infinie (puisque le plan est infini). Par analogie, on considére trois points A, B, et C sur la sphère , liés par trois arcs de géodésiques AB, BC et AC. On définit ainsi deux domaines. Mais contrairement au plan, la surface de la sphère n'est pas infinie : il y a donc deux domaines délimités par 3 segments de droites, ayant chacun une aire finie. Ce sont donc deux triangles ABC que l'on appellera triangles compémentaires.

Triangles ABC sur la sphère:

Si on se limite maintenant à considérer trois points A, B et C (sans les " lier" entre eux), on voit apparaître -pas un, ni deux ... mais...seize triangles ABC.

Explications :Pour deux points A et B de la sphère, il existe deux arcs de géodésique AB ( aprés tout, une géodésique n'est qu'un cercle... ). Pour trois points A, B, et C de la sphère, il y a donc deux arcs AB, deux arcs BC et deux arcs CA.Construire un triangle ABC va consisterà associer un des deux arcs AB à l'un des deux arcs BC puis à l'un des deux arcs AC. On peut alors compter huit triangles ABC (2x2x2).Comme vu plus haut, ils possédent chacun un triangle compémentaire. Ainsi trois points de la sphère délimitent-ils 16 triangles différents. Pour les dénombrer, appelons "AB" et "ab" les deux arcs de la géodésique passant par les points A et B. Chaque triangle est compté deux fois du fait des triangles compémentaires.

* Le Birectangle… Choisissons une géodésique quelconque (de centre O ) et un point O’ de la sphère tel que ( OO’ ) soit perpendiculaire à P, P étant le plan de la géodésique. On peut illustrer cela par le pôle Nord et l’équateur de notre planète. Ensuite prenons 2 points A et B de la géodésique. ( cf. figure ). Le triangle ABO' obtenu est un triangle à 2 angles droits, appelé le BIRECTANGLE. En fait ( O'A ) et ( O'B ) sont assimilables à des arcs de méridiens. ( Or les méridiens sont tous perpendiculairesà l’équateur ).

* Le Trirectangle…   La configuration est la même que pour le birectangle sauf que l’on choisit A et B tels que AOB=90° Nous obtenons un triangle à 3 angles droits, le TRIRECTANGLE.

* Le triangle demi-sphère... Par définition, un triangle est une figure délimitée par trois segments de droites. Par analogie, le triangle sphérique est délimité par trois segments de géodésique (cf annexe) . Si les trois points du triangle planaire sont situés sur la même droite, alors le triangle est dit "triangle-plat". Si l' on essaie de le transposer sur la sphère, on remarque que trois points appartenant à la même géodésique délimitent deux triangles, recouvrant tous deux la moitié de la sphère. Ces triangles sont appeés triangles demi-sphère. -Pas mal comme nom, hein !-

Si l'on considére la sphère à une trés grande échelle, telle que notre taille devienne ridicule face à ses dimensions et que l'on se balade sur sa surface, alors de notre point de vue, sa courbure devient négligeable. C'est exactement ce qui se passe lorsque l'on s'allonge dans l'herbe : on croît être à plat mais c'est uniquement parce que notre bonne vieille planète est bien plus grande que nous. Ainsi, si un triangle sphérique tend à se réduire à un seul point, alors il tend à devenir un triangle planaire et donc à ne plus "subir" la courbure de la sphère. Le seul triangle réussissant réellement cet "exploit" est le triangle-point qui, comme son nom l'indique, a ses trois sommets confondus en un même point. Sachant que chaque triangle posséde, parmi les sept autres formés à partir des trois mêmes points, un triangle compémentaire, on peut remarquer que le complémentaire du triangle point est un triangle recouvrant presque la sphère entiére : c'est le "presque-sphère". -pas mal non plus comme nom !- . Le presque-sphère est lui aussi un triangle limite en tant que compémentaire d'un triangle limite.

Que pouvons-nous dire de la somme des angles d'un triangle sphérique ?

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