triangle
point , alors lim S = 180° ¤ Somme des angles d'un triangle sphérique :
Avant toute chose, il convient de rappeler que la somme des angles du triangle sphérique ne peut être inférieure à 180°
* Commençons notre étude par celle du plus petit triangle :
Lorsque l'on fait tendre le triangle sphérique vers le triangle point qu'on peut alors considérer comme un triangle du plan, la somme S des angles du triangle tend vers 180° par valeurs supérieures.
Si triangle triangle
point , alors lim S = 180°
Remarque : Le triangle équilatéral sphérique ne peut avoir ses angles égaux à 60° !!!
* Imaginons nos 3 points situés au pôle d'une géodésique qui serait l'équateur. Faisons -les "tendre" vers l'équateur.Il apparaît que, durant ce déplacement, les angles" s'écartent " et donc leur mesure augmente. Lorsque les trois points sont situés sur la géodésique, il devient facile de calculer S . Chaque angle mesure 180° donc : S (somme ses angles du triangle demi-sphère)= 3 * 180 = 540°*Continuons de déplacer les trois points - le triangle recouvre alors plus de la demi-sphère - . Les angles continuent de croître et le triangle tend vers le "presque sphère", complémentaire du triangle point, qui est, nous le rappelons, une limite et n'est donc jamais atteint. La valeur de chaque angle de notre "super-triangle" se rapproche donc infiniment de 360°. Cependant, n'oublions pas les angles suppémentaires de ce triangle qui sont ceux du triangle-point et dont la somme tend vers 180°. Il suffit donc de retrancher 180 à la valeur que S aurait atteinte sans le triangle-point. Ainsi :
lim S = 3 * 360 - 180 = 900°
Si triangle"presque
sphère" , alors lim S = 3 * 360 - 180 = 900°
On peut conclure :
Sur la sphère : 180° < somme des angles du triangle sphérique < 900°