IV ) Carrés et polygones
* Quelques définitions.
- Le carré : c’est l’intersection de la sphère avec une pyramide à base carrée de sommet O le centre de la sphère.
- Le pentagone : c’est l’intersection de la sphère avec une pyramide dont la base est un pentagone de centre O.
- L’ hexagone : c’est l’intersection de la sphère avec une pyramide dont la base est un hexagone de centre O.
Angles des Polygones Réguliers : (dessin 16)
Soit un polygone régulier à n côtés. Il est divisible en n triangles isocéles de sommet O, le centre du polygone. Les angles du polygone, tels ABC, sont égaux à 2a. Dans chaque triangle :
Remarques :Si n = 2 , 2a = 0 , le digone devient
un segment. Si n = 3, le triangle est " équilatéral
" mais les angles ne peuvent être égaux à 
Si n = 4, le polygone régulier est un "carré". Deux points A et B de la sphère déterminent l'un des côtés ; nous pouvons placer le point C lel que ABC soit un triangle isocéle rectangle en B. De même nous pouvons placer D tel que ABD soit un triangle isocéle rectangle en A avec C et D du même côté de la géodésique AB. Il faudrait alors que le segment [DC] soit perpendiculaire aux segments [AD] et [BC]. Cela équivaut à avoir les plans DCO et BCO perpendiculaires ainsi que DCO et ADO, donc les plans ADO et BCO paralléles. Il faudrait qu’ils soient confondus puisqu’ils ont un point en commun.
Conclusion
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Nous avons alors été amenés à penser qu’un polygone à n côtés sur la sphère ne pouvait posséder des angles égaux à
p (1 – 2/n) qu’à la limite. Nous n’avons pu prouver ce résultat que pour le cas où n prend les valeurs 2, 3, 4.