Comptes Rendus MATh.en.JEANS 93-01

rédigé par Perrine ALLAIN, Classe de 5ème, collège Pierre de Ronsard de Montmorency	enseignants : Vincente Bartoli, Yann Bourit, Catherine Mandonnet
jumelage entre des élèves de 6ème-5ème du collège Pierre de Ronsard, de Montmorency et du collège l'Ardillière de Nézant, de Saint Brice sous Forêt, année 1992-93.	chercheur : Pierre Duchet, CNRS

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[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets et les notes sont des éditeurs]

Les brenoms sont des choses [NDLC : c'est clair, ça, des choses ?] qui généralisent les nombres entiers ordinaires (un nombre entier est une succession finie de chiffres, un morceau de brenom), et qui peuvent donc nous fournir de nouveaux outils. Les brenoms en base différente de 10, appelés les nombres p-adiques, sont beaucoup étudiés ; ils permettent, entre autres, de comprendre des propriétés des nombres entiers ordinaires et de fabriquer des codes secrets. Un brenom est une succession illimitée de chiffres écrite de droite à gauche. Exemple :    ... 562951413 On peut additionner et multiplier les brenoms de la manière habituelle, puisque ces opérations (sur les nombres) se font de droite à gauche. Vous remarquerez que la multiplication habituelle des nombres (avec une suite, illimitée à droite, de décimales) est plus difficile à effectuer :     3,14159265...x 3,14159265 ... = ??? Sujet de recherche proposé : existe-t-il des brenoms qui, multipliés par eux-mêmes, ne changent pas ?

Qu'est-ce qu'un brenom ?

Un brenom est composé d'une infinité de chiffres débutant à droite et se poursuivant vers la gauche.
Exemple : ... 1257305895.

L’addition des brenoms

Elle se fait comme une addition normale.

Exemple :         ... 256289
                   +  ... 476123
                   =  ... 732412

Tout brenom a un opposé c’est à dire qu’un brenom peut toujours être ajouté à un autre brenom pour que leur somme soit ...0.

Exemple :        ... 36925
                 +  ... 63075
                 =  ... 00000

La soustraction des brenoms

Elle peut se faire normalement, mais, surprise, on peut effectuer : 

                        ... 2396
                    -  ... 7485
                    =  ... 4911

C'est possible car un brenom a une infinité de chiffres, donc on peut avoir une infinité de retenues. La soustraction étant toujours possible, on n'a pas besoin de brenoms négatifs.

Multiplication des brenoms

Elle se fait comme une multiplication normale.

                        ... 1634
                       x  ... 25
                       ... 8170
                     ... 3268
                    ...  ...    
                     =      ...50      [1]

Peut-on trouver un brenom tel que: x² = x ?

[NDLR : l'écriture x² représente le résultat de la multiplication de x par x et s'appelle le carré de x.]

OUI, il en existe 4 !

[NDLR : Théorème : Il existe exactement 4 brenoms tels que x² = x.]

Ces brenoms peuvent commencer à droite par ...

• 0 car 0 x 0 = 0 et 0 se termine par le même chiffre que 0.
• 1 car 1 x 1 = 1 et 1 se termine par le même chiffre que 1.
• 5 car 5 x 5 = 25 et 25 se termine par le même chiffre que 5.
• 6 car 6 x 6 = 36 et 36 se termine par le même chiffre que 6.

Comment avons-nous fait pour les trouver ?

a) Pour le brenom commençant par 0 : nous avons cherché quel chiffre pouvait convenir après 0.

              ... a 0
          x  ... a 0
             ... 0 0
      ... (a²) 0
   ...  ...           [2]    
   =   ... (a²) 0 0   

Les brenoms  ... a 0 et  ... (a²) 0 0 sont égaux, donc se terminent par les mêmes chiffres, a doit donc être égal à 0.

Ensuite, nous avons cherché quel chiffre pouvait convenir après 0 0.

              ... b 0 0
           x  ... b 0 0
             ... 0 0 0
           ... 0 0 0
      ... (b²) 0 0
   ...  ...            
     ... (b²) 0 0 0 0   

Les brenoms ... b 0 0 et ...  (b²) 0 0 0 0 sont égaux, donc se terminent par les mêmes chiffres, b doit donc être égal à 0.    De même, tous les chiffres suivants seront des 0, donc le brenom égal à son carré et commençant par 0 est ...000.

b) Pour le brenom commençant à droite par 1 nous avons cherché quel chiffre a pourrait convenir après 1.

                   ... a 1
              x  ... a 1
                  ... a 1
             ... (a²) a
          ...     ...     
       ... (a²+)(2a) 1   

Les brenoms ... a 1 et ... (2a) 1 sont égaux, donc 2a doit se terminer comme a, ce qui implique : a = 0.    De même, le chiffre suivant, b, doit se terminer comme 2b, ce qui implique b = 0. On procède de même pour les chiffres suivants. Ainsi à chaque fois on obtient un 0 de plus et le brenom égal à son carré et commençant par 1 est ...001.     [3]

c) Pour le brenom commençant à droite par 5, nous avons cherché quel chiffre a pourrait convenir après 5.

                       ... a 5
                      ... a 5
                 ... (5a+2)5
              ... (a²+) 5a 0   
    ...             ...          
          ... (a²+)(10a+2)5   

Pour que ces brenoms soient égaux, 10 a + 2 doit se terminer par a. Or 10 a se termine par 0 donc 10 a + 2 se termine par 2. Ceci implique : a = 2. Nous remarquons que 2 est le chiffre qui vient après 5 dans 25, carré de 5.Pour trouver le chiffre suivant, b, nous avons fait des multiplications par paquets, en tenant compte du fait que b est le chiffre des centaines :Nous pouvons donc poser la multiplication :

                               ... b 25
                               ... b 25
                               ... 6 25
                      ... (5b)0 00
                      ... (b²) 0 0 00
                   ...        ...        
                 ... (b2+)(5b) 6 25

Nous devons donc choisir b = 6 pour que ces brenoms soient égaux. En continuant de même, nous avons constaté la règle suivante :

Règle pour trouver le n-ième chiffre du brenom : on calcule le carré du brenom à n-1 chiffres [NDLR : c'est-à-dire le carré du nombre, formé avec les n-1 chiffres déjà obtenus.] ; le nième chiffre du résultat est alors le chiffre cherché.

Un programme en Pascal nous a alors permis d'obtenir le brenom cherché.( voir annexe 1)

d) Nous avons travaillé de même pour trouver le brenom commençant à droite par 6. Nous avons obtenu la règle suivante :

Règle pour trouver le n-ième chiffre du brenom : on calcule le carré du brenom à n-1 chiffres [NDLR : c'est-à-dire le carré du nombre, formé avec les n-1 chiffres déjà obtenus.] ; on prend le complément à 10 du nième chiffre obtenu, c'est le chiffre cherché.

Un programme Pascal nous a alors permis de trouver le brenom cherché. (voir annexe 2).

Conclusion 1 [Sous réserve que les règles précédentes soient complètement démontrées.]
Il n'existe pas plus de 4 brenoms qui ne changent pas quand on les multiplie par eux-mêmes : il s?agit des brenoms 0, 1 et de ceux obtenus par les règles.

Conclusion 2 [Après avoir vérifié que les brenoms 0, 1 et ceux obtenus par les règles sont effectivement égaux à leurs carrés.]
Il existe 4 brenoms tels que x² = x.
[Les propriétés énoncées dans les conclusions 1 et 2 garantissent que le théorème énoncé plus haut est correct.]

Notes des Editeurs

L'activité de l'un des collèges fut guidée par des fiches de travail.
Voir la fiche 1
Voir la fiche 2

Les brenoms en question

brenoms / nombres p-adiques / chiffres / addition / soustraction / multiplication / division / carré / solutions d'une équation / anneau de nombres