Nous avons essayé de plier notre triangle de toutes les façons possibles.

Pour cela, nous avons utilisé le logiciel « geospace ».

Mais nous nous sommes vite aperçus qu'il y avait beaucoup de figures différentes. En voici quelques-unes:

figure 1 A' est sorti par (AC) la surface pliée est la réunion de CBED et de DFA'	figure 2 B appartient au secteur angulaire EA'D la surface pliée est la réunion de EA'D et de GDC
figure 3 A' est rentré a l'intérieur la surface pliée est le quadrilatère BEDC	figure 4 A' est sorti par (ED) la surface pliée est la réunion du quadrilatère CBED et du triangle GFA'

Dans toutes ces figures, on a fait bouger la droite (DE) qui représente le pli, le point D appartenant au segment [AC] et le point E appartenant au segment [AB].

On a construit les symétriques des points utiles et on a tracé les polygones utiles.

Le théorème sur le rendement nous a beaucoup aidé pour nous rendre compte quand le calcul n'était plus valable.

En conclusion, nous avons trouvé que le meilleur pli était toujours une bissectrice:

(une définition utile: la bissectrice d'un angle est la demi-droite qui passe par un sommet et qui sépare l'angle en deux angles égaux)

Le meilleur pli avec la figure 1 est la hauteur issue de B avec comme rendement 0.63.

Le meilleur pli avec la figure 2 est la bissectrice de avec comme rendement 0.5361.

Le meilleur pli avec la figure 3 est la bissectrice de avec comme rendement 0.5521.

Le meilleur pli avec la figure 4 est la bissectrice de avec comme rendement 0.5361.

Donc le meilleur pli que nous avons trouvé pour ce triangle est la bissectrice du plus petit angle.

Or nos camarades qui avaient déjà travaillé sur ce sujet il y a quelques années, mais seulement sur les triangles rectangles, avaient trouvé la même chose (le compte-rendu est disponible sur le site de l'association « math en jeans »).

Nous avons donc quelques raisons de penser que c'est vrai dans tous les cas et nous avançons la conjecture suivante.

Conjecture (Plus qu'une hypothése, mais moins qu'un théorème). Le meilleur pli dans un triangle est toujours la bissectrice d'un angle, mais on ne sait pas lequel.

Toutefois, M. Pierre DUCHET (chercheur en mathématiques) n'est pas de notre avis. (note 1)

Alors si vous avez des idées sur cette question, vous pouvez nous en faire part à l'adresse suivante: b.al7@caramail.com

AVEC NOS SINCERES SALUTATIONS

1. Voici le texte du message envoyé par Pierre Duchet :

<< [Je suis] intrigué par la formulation imprécise des élèves : la solution pour eux serait la bissectrice du plus petit angle (ou du plus moyen ou du plus grand, ou ... quelque chose du genre). Des idées de continuité jettent un doute sur ce type de conjecture :

Si un triangle est isocèle en A, la bissectrice de l'angle A est solution, même si A n'est ni le plus petit, ni le plus grand angle.

En modifiant continuement un triangle initialement isocèle en A en un autre triangle isocèle en B, on passe d'une pli optimal qui passe par A à un pli optimal qui passe par B. Il doit y avoir un triangle intermédiaire intéressant avec double solution.

Conclusion. Il convient de préciser les hypothèses exactes de la conjecture : il me parait invraissemblable qu'elle tienne pour tous les triangles. En particulier, quels sont les triangles ou les types de triangle qui ont véritablement été testés par ordinateur ? >>

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AIRE PLIAGE TRIANGLE SYMETRIE MINIMUM BISSECTRICE