Comptes Rendus MATh.en.JEANS 03-03

Enseignants : Martine BARGOIN, Mariette DONNET, Cyril FOUQUET (Clg. Gérard Philippe) ; Sylvie BOUTHORS (Clg. des explorateurs).

Chercheur : Hervé PAJOT (Univ. de CERGY-PONTOISE).

Jumelage MATh.en.JEANS entre le collège Gérard Philipe et le collège des explorateurs (95 - Cergy Pontoise). Ateliers de Pratique Scientifique, année scolaire 2002-2003.

---

[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]
[ L'icone renvoie au Glossaire MATh.en.JEANS , à un document ]

---

Sujet (note 1)

En 2050, le ministre de l'intérieur décide de faire un découpage de la France en départements. Pour simplifier son travail, il assimile la France à un hexagone régulier, chaque département doit avoir la forme d'un triangle, et il n'utilise que des diagonales pour faire le découpage . Pouvez-vous l'aider ? (note 2)

Nous avons commencé par étudier le carré, le pentagone [régulier] puis l'hexagone [régulier] car la France peut être considérée comme telle.

[Nous examinons tous les cas, suivant le nombre et la disposition des diagonales.

Nous ne retenons une figure comme découpage possible que si elle est solution de notre problème, c'est à dire si toutes les régions formées sont des triangles. Les triangles des figures-solutions sont colorés].

Carré

Il y a 2 possibilités avec 1 diagonale et 1 possibilité avec 2 diagonales.

Pentagone

Avec 1 diagonale : c'est impossible car il restera toujours une figure [= une région] à 4 cotés
avec 2 diagonales :
- issues du même sommet. [voir note 3]	- issues de sommets différents [soit cela est impossible, soit on] revient au cas précédent.
avec 3 diagonales : - 2 diagonales issues d'un même sommet et la 3éme diagonale d'un sommet consécutif [note 4]. Le résultat est impossible quand la deuxième extrémité atteint un sommet consécutif au premier.	Mais est possible dans l'autre cas. [voir note 5]
avec 4 diagonales : - issues de 2 sommets consécutifs, c'est impossible [- il n'y a pas d'autre cas à considérer.]

Hexagone

[Nous appliquons la même méthode (détail en annexe).]

Voici le résultat de nos recherches. Nous avons classé les solutions par nombre de départements.

4 départements :

[3 autres solutions s'en déduisent par réflexion ; deux solutions supplémentaires existent(note 6)]

6 départements :

[6 autres solutions se déduisent de celles-ci par réflexion]

8 départements

10 départements

12 départements

1. Quatre sujets au choix avaient été soumis aux ateliers de recherche (voir tous les sujets)

retour à l'appel de cette note

2. [Note du chercheur] Ce problème (dans le cas général d'un polygone convexe) a été posé en 1751 par le très grand mathématicien suisse Leonard Euler (1707-1783) au mathématicien allemand Christian Goldbach.

retour à l'appel de cette note

3. Cette figure donne lieu à 5 solutions différentes, suivant le choix du sommet initial.

retour à l'appel de cette note

4. Numérotons les sommets dans le sens des aiguilles d'une montre. Les auteurs fixent d'abord les diagonales 13 et 14 et tracent une troisième diagonale issue de 2, sommet conécutif à 1.

retour à l'appel de cette note

5. Cette figure donne lieu à 5 solutions différentes, suivant le sommet initial choisi, auxquelles il convient de rajouter les 5 solutions qui s'en déduisent par réflexion (symétrie axiale).

retour à l'appel de cette note

6. Voici deux solutions supplémentaires, oubliées par les auteurs :

.

retour à l'appel de cette note

ERDÖS TRIANGLE ISOCÈLE RAMSEY CONFIGURATION DE POINTS PLAN EULER GOLDBACH