Comptes Rendus MATh.en.JEANS 04-05

Enseignants : Hubert PROAL, avec le concours de M. MULLER (Lycée d'Altitude de Briançon).

Correspondant Chercheur : Patrick VÉROVIC (Université de Savoie, Chambéry).

Atelier MATh.en.JEANS de pratique scientifique, année scolaire 2004-2005.

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[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

[ L'icone renvoie au Glossaire MATh.en.JEANS , à un document ]

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Le but de notre recherche était de dans un premier temps de placer [plusieurs points] dans un rectangle puis de rechercher un point S le plus loin possible des points placés [...].

[Nous avons adopté comme définition de l'éloignement la somme des distances aux points donnés.

Nous avons étudié les cas de 2 et de 3 points. Nous avons émis pour ces deux cas, la conjecture que le point cherché est un toujours un des sommets du rectangle.]

1. Cas de deux points

Deux points A et B sont fixés dans un rectangle. Notre problème est alors de trouver le point (ou les points) M du rectangle tel que MA+MB soit le plus grand possible.

Méthode

Nous avons construit les lignes de niveau, [puis observé quelle est la ligne de plus grand niveau ayant encore un point dans le rectangle].

Par exemple:

Que représente l'ensemble des points M tel que MA + MB = 5 ?
On appellera cela la ligne de niveau 5.

Pour la construire, nous avons tracé le cercle de centre A et de rayon 1 ainsi que le cercle de centre B et de rayon 4.
L'intersection de ces deux cercles [sont les points M] vérifiant MA + MB = 5.
On obtient deux points [notés] P1 et P2.

De la même manière en construisant des cercles de centre A et de rayon R (R<5) et de centre B et de rayon 5-R , on obtient une série de points. Ainsi, en trouvant l'ensemble des points M tel que MA + MB soit égale à 5, nous avons abouti à la formation d'une ellipse.

Lignes de différents niveaux

En construisant cette ellipse sur le logiciel Géoplan et d'autres ellipses pour d'autres niveaux, nous obtenons des ellipses "concentriques" à la première. Nous avons constaté que le point le plus loin appartient à la dernière ellipse qui ne sort pas totalement du rectangle. Ici : point S en haut à droite du rectangle.

Conjecture. On conjecture que le point S se situe toujours sur un des sommets du rectangle.

2. Cas de trois points

Trois points A, B et C sont fixés dans un rectangle. Notre problème est alors de trouver le point (ou les points) M du rectangle tel que MA+MB+MC soit le plus grand possible.

Méthode

Nous avons repris la construction de lignes de niveau.

Par exemple: nous prenons l'ensemble des points M tel que MA + MB + MC = 7.
On appellera cela la ligne de niveau 7.

Pour la construire, nous avons tracé l'ellipse de rang 5 de A et B par la méthode précédente puis le cercle de centre C et de rayon 2.
Les points d'intersection de l'ellipse et du cercle (quand ils existent) vérifient : MA + MB + MC = 7.

Lignes de niveau 7

De la même manière en faisant l'ellipse de A et B de niveau x et un cercle de centre C et de rayon 7-x, on obtient la ligne de niveau 7.
Nous avons d'abord construit la ligne de niveau 7 à partir des lignes de niveaux à 2 points. On obtient ce que nous avons appelé un "Ovaloïde" [note 1].

Puis nous avons construit cette ligne sur ordinateur.

Lignes de différents niveaux

Enfin, avec l'aide de M. Muller, nous avons pu tracer les lignes de niveaux à l'ordinateur.
On obtient ainsi une famille de courbes de la forme d' "ovaloïdes".

Conjecture. On conjecture ici aussi que le point S se situe toujours sur un des sommets du rectangle.

3. Questions ouvertes

Existe t-il des figures où le point le plus loin n'est pas un sommet du rectangle ?         Que se passe-t-il si on change la définition de l'éloignement ?

Photo prise le jour de notre présentation à Paris Agrandissement [376 Ko]

Note 1. Le premier tracé fut fait "à la main" . Les courbes obtenues furent étudiées par Descartes puis par Maxwell qui proposait de les tracer en faisant coulisser un crayon dans un réseau de ficelles avec des poulies (Référence : Dossier pour la Science, Belin, 2005).

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MAXIMUM DISTANCE RECTANGLE ELLIPSE OVALE LIGNE DE NIVEAU COURBE