Soit f la fonction définie, sur l'ensemble des réels par f(x)= cos(x) - x

f est dérivable sur l'ensemble des réels, par théorème d'opération.

On a :                               

 f'(x)= - sin(x) - 1

donc f'(x) = 0   ssi   x =/2 + 2k (avec k entier relatif)

donc  - sin(x) - 1   inférieur ou égal à 0

D'après le tableau de valeur [de variation] et le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)=0 admet une unique solution sur l'ensemble des réels.

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