On pose U₀=a et V₀=b.

On a alors deux cas possibles :

U_n+1=U_n  et V_n+1=(U_n+V_n)/2
ou
U_n+1=(U_n+V_n)/2  et V_n+1=V_n.

On pose W_n=V_n-U_n

donc W_n+1=V_n+1-U_n+1

donc W_n+1 = (U_n+V_n)/2-U_n=(V_n-U_n)/2 = W_n/2

   ou  W_n+1 = V_n-(U_n+V_n)/2=(V_n+U_n)/2 = W_n/2

Donc dans les deux cas  W_n tend vers 0, comme suite géométrique de raison 1/2.

U_n et V_n sont adjacentes et ont même limite.

Or a appartient par définition à l'intervalle [ U_n, V_n ], donc U_n et V_n tendent vers a. 

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