Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-08

Enseignants : Claire DUMONT et Adrien FRYC (Clg. Elsa Triolet) ; Jean-Pierre BOUZBOUZE (Clg. Robespierre).

Chercheur : Benoît RITTAUD (Inst. Galilée, Univ. Paris 13, 93-Villetaneuse).

Jumelage MATh.en.JEANS entre les collèges Elsa Triolet de St-Denis (93) et Robespierre d'Épinay (93). Ateliers de Pratique Scientifique, année scolaire 1999-2000.

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[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

[ L'icone renvoie au Glossaire MATh.en.JEANS , à un document ]

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[Le sujet]

Une puce saute sur un cercle par bonds réguliers : c'est à dire que l'angle au centre formé entre deux positions consécutives de la puce est toujours le même. [Cet angle est noté A dans la suite.]

• [Les questions du sujet : la puce va-t-elle revenir à son point de départ ? Quelles positions va-t-elle pouvoir atteindre ?]

[Les collégiens s'intéressent ici au cas où l'angle A est un nombre entier de degrés]

[Un exemple]

Nous avons résumé nos résultats dans le tableau ci-après : [dans ce tableau, l'angle de saut A prend successivement les valeurs a,b,c,d,e,f,g, obtenues en doublant jusqu'à six fois l'une des valeurs initiales 1,3,5,9,15 ou 45. Ces valeurs initiales sont précisément les diviseurs impairs de 360 ; le nombre de tours correspond à la première fois où la puce rejoint sa position initiale ; la lecture détaillée des résultats est expliquée plus bas]

[ Explication des résultats ]

Pour trouver le nombre de tours :

a, b, c, d sont des diviseurs de 360. [Si A est l'une de ces valeurs,] il n'y aura donc qu'un seul tour effectué avant le retour au point de départ.

e est un diviseur de 720 [mais non de 360]. [Si A est l'une de ces valeurs,] comme 720 = 360 x 2, il y aura deux tours effectués.

f est un diviseur de 1440 [mais non de 720]. [Si A est l'une de ces valeurs,] comme 1440 = 360 x 4, il y aura quatre tours effectués. [voir note 1]

g est un diviseur de 2880 [mais non de 1440]. Comme 2880 = 360 x 8, il y aura huit tours effectués. [voir note 2]

[ Lois résumant les résultats ci-dessus ]

• Si A est un diviseur de 360, la puce va retourner à son point de départ en un seul tour. sinon elle va effectuer plusieurs tours. [voir note 3]
• Pour trouver le nombre de sauts [dans le cas où A divise 360]

  Soit y le nombre des sauts et A l'angle au centre d'un saut. On a :

360A = y

Exemple. 36060 = 6 ; cela veut dire que la puce va effectuer 6 sauts de 60° avant de revenir à son point de départ.

Une autre solution

Nous avons trouvé une autre solution pour déterminer le nombre de tours et de sauts [qui ramènent la puce à son point de départ pour la première fois].

On simplifie la fraction pour la rendre irréductibleet
on obtient le nombre de tours au numérateur et le nombre de sauts au dénominateur.

[ voir note 4]

Exemples.

1. : cette fraction ne peut pas être réduite donc pour un angle de 1° il y a un tour et 360 sauts.

2. : Pour un angle de 65° la puce fait 13 tours en 72 sauts.

[La première question initiale semble ainsi bien élucidée dans le cas où l'angle A est un nombre entier de degrés. Il serait intéressant de poursuivre cette étude lorsque A est une fraction ou un nombre irrationnel (cf. note 5). La question des points atteints par la puce a été étudiée en 2000-01 par d'autres élèves voir les échos du congrès 2001 à ce sujet. ]

1. Pour établir ce résultat, il faut vérifier que le nombre f ne divise pas non plus 1080=360x3.

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2. Pour établir ce résultat, il faut vérifier en outre que le nombre g ne divise aucun des nombres 1080=360x3, 1800=360x5, 2160=360x6, et 2520=360x7.

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3. Les résultats donnés suggèrent une conjecture générale ( nous rappelons que 2ⁿ désigne la n-ième puissance de 2, c'est à dire le produit 2 x 2 x ... x 2 de n facteurs égaux à 2) :

Si A est de la forme  dx2ⁿ où  d est un diviseur impair de 360, alors la puce va retourner à son point de départ pour la première fois au bout de :
  -   1 tour si n est inférieur ou égal à 3
  -   2^n-3 tours si n est supérieur à 3.

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4. Autrement dit, si p/q est le résultat final de toutes les simplifications possibles de la fraction A /360, alors :

La puce va retournera à son point de départ pour la première fois au bout de p tours, en ayant alors effectué q sauts.

Faute de preuve, cet énoncé est une conjecture, qui est vérifiée pour tous les cas envisagés dans cet article. Elle répond complètement à la question initiale lorsque l'angle A est un nombre entier de degrés (cf. note 5).

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5. On peut voir le cercle comme le bord d'un billard circulaire : les évolutions de la puce sur le cercle représentent alors la suite des rebonds d'une boule de billard. Avec ce point de vue, des lycéens ont étudié le cas général, et en particulier celui d'un angle A irrationnel : la puce ne revient jamais à son point de départ ! Voir Billards lumineux, par G. Hubin, J.-B. Jacob, J. Jouvent, P. Serrano et J.-F. Vischi, Actes MATh.en.JEANS 1996, pp. 131-139.

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nombre entier diviseur multiple angle rationnel irrationnel fraction billard cercle