Les déboires d'un carreleur, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-06
1. La cuisine de Jean-Pierre: démonstration
[Il s'agit de prouver l'énoncé suivant : si le carrelage d'un rectangle mxn est possible avec des carreaux 1x3, alors l'un des nombres m ou n au moins est un multiple de 3]
L'explication par l'aire: un rapport s'établit simplement entre l'aire de la cuisine et l'aire des carreaux dont il se servira.
On a alors l'aire de la pièce, m.n, qui sera égale, quand la cuisine est carrelable, à l'aire d'un carreau 1x3 multiplié par le nombre de carreaux utilisés, que l'on notera k.
Ce qui nous donne: m.n = 3.k
3 étant un nombre premier, on peut déduire de cette égalité les deux suivantes:
Conclusion: pour que la cuisine soit carrelable, il faudra que ses dimensions vérifient l'une ou l'autre de ces relations.
Un nombre premier est un nombre [entier positif différent de 1] qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Exemples: 1 [par
convention 1 n'est pas considéré comme nombre
premier], 3, 5, 7, 11, 13 Š
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Une conjecture est un résultat que l'on pense être juste d'après de nombreux exemples, mais qui n'est pas démontré.
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4. La salle de bains de Jean-Pierre : démonstration.
De la même façon que pour la cuisine (vers lien 5), on peut retrouver une relation entre l'aire de la salle de bains et l'aire des carreaux.
Soient m et n les côtés de la salle de bains, p la longueur du carreau et k un nombre entier positif quelconque.
Si p est un nombre premier :
On montre de la même manière (cf. démonstration pour la cuisine et NdE 1] qu'il faut que m ou n soient des multiples de p.
Si p est un nombre non premier. Nous avons seulement établi une conjecture...: il faudrait que m ou n soient des multiples de p mais nous ne sommes pas parvenus à le démontrerŠ[pour un énoncé précis de cette conjecture voir NdE 2]
Nombre de possibilités de placer les pièces noires [en respectant la condition "il ne faut qu'un carreau noir par ligne et par colonne"].
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[Exemple : Il y aura une case noire par ligne. Il ya 7 manières de placer une case noire sur la première ligne, on en choisit une, la position 1 par exemple. Il reste alors 6 manières de placer la case noire de la seconde ligne : on en choisit une, la position 2 par exemple. Et ainsi de suite...] |
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Il y a donc 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 façons de placer les cases noires.
Cela se note 7 ! (lire : « factorielle 7 »), qui est égale à :
7. Nombre de configurations ayant un coin bouché.
Si on bouche un coin avec deux cases noires, on sait qu'il n'y aura pas d'autres cases noires dans les deux lignes et les deux colonnes dans lesquelles elles se trouvent.
On peut donc, pour trouver le nombre de configurations ayant un coin bouché, chercher le nombre de façons de placer les cases noires dans un carré de 5x5.
Là, de la même façon que pour le nombre de configurations totales, on trouve qu'il y aura 5 x4 x3 x2 x1 configurations ayant le coin supérieur gauche bouché. Cela se note 5 ! (lire « factorielle 5 ») et est égal à 120.
Chaque coin pouvant être bouché tour à tour:
Il y a donc logiquement 4 x5! soit 480 configurations ayant un coin bouché.
Mais des configurations ont été comptées deux fois!
En effet, certaines configurations ayant deux coins bouchés, nous les avons comptées pour chacun de leur coin bouché, soit deux fois. Pour les dénombrer, nous nous sommes cette fois ramené à un carré de 3 x3 et avons procédé toujours de la même manière que pour le nombre de configurations totales [voir plus haut]:
Il y a 2 x3! soit 12 configurations que nous devons retirer des 480 comptées précédemment, cela nous amène donc à 480-12 soit:
configurations ayant un coin bouché.
8. Configurations n'existant que de deux façons par rotation
Les configurations qui, par rotation, ne donneront que deux cas différents sont celles qui ont la particularité d'avoir leur cases noires disposées symétriquement par rapport au carreau central:
Pour les dénombrer, nous avons à nouveau étudié le nombre de possibilités de placer les cases noires dans chaque ligne, en commençant par la case centrale, puis en disposant au fur et à mesure le symétrique des cases que l'on aura placé:
Nous avons donc 6 x4 x2 possibilités, soit 48 possibilités pour placer les cases de façons à ce qu'elles soient symétriques par rapport au carreau central.
Mais si vous avez bien suivi, vous avez du remarquer que certaines d'entre elles allaient avoir un coin bouché, et que par conséquent elles ne faisaient déjà plus partie des 4572 configurations auxquelles nous étions parvenus. Un petit dessin nous a à nouveau permis de les dénombrer:
Cela nous fait 2+2 soit 4 configurations dont on ne "s'occupe" plus parmi les 48.
Il y a donc:
configurations parmi les 4572 que l'on ne divisera que par 2.
Récapitulatif pour ceux qui ont pas tout suivi:
Nous avons tout d'abord dénombré 5 040 manières possibles de placer les carreaux noirs sur la terrasse de René.
Ne pouvant raisonnablement pas étudier le pavage de chaque cas durant cette année, nous avons tenté de diminuer ce nombre, tout d'abord en éliminant des cas que l'on sait non pavables: les configurations ayant un coin bouché. Il y en a 468, il nous reste donc:
Vient ensuite la constatation que l'on peut diviser ce nombre par 4 grâce au "phénomène" de rotation, mis à part 44 cas parmi ces 4572 que l'on ne divisera que par 2 parce qu'ils ne donnent que deux configurations différentes. Cela nous donne donc:
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