Les déboires d'un carreleur, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-06
1. Le carrelage de Jean-Pierre
Jean-Pierre nous a demandé de l'aide car il voulait carreler sa cuisine et sa salle de bains lui-même, par souci d'économie. Ne voulant pas acheter de coupe-carrelage, il se demande s'il pourra toujours carreler entièrement ses deux salles sans avoir à les mesurer, et nous a donc appelé au secours.
Pour sa cuisine, Jean-Pierre a trouvé en promotion un stock de carreaux de dimensions 1x3. Pour savoir quand il pourra ou non carreler sa cuisine, on s'est intéressé au pavage de rectangles avec des pièces représentant les carreaux.
Nous avons fait de nombreux essais:
Qui nous ont permis de trouver et de démontrer la condition que la cuisine doit respecter pour être carrelée entièrement, sans couper les carreaux de dimensions 1x3 :
[Nous laissons au lecteur le plaisir de vérifier que cette condition, nécessaire à l'existence d'un carrelage (voir la démonstration des auteurs), est en fait suffisante.]
Jean-Pierre s'attaque maintenant à sa salle de bains, et veut la carreler avec un stock de carreaux retrouvé à la cave. Nous nous sommes rendu compte que nous allions en fait devoir faire une généralisation du problème résolu pour la cuisine, car il ne connaît cette fois ni les dimensions de la salle, ni celles des carreaux.
On garde donc la notation m et n pour les cotés du rectangle à paver, et on s'intéresse cette fois à des carreaux de dimensions 1 x p.
Là aussi, grâce à des exemples,
de la même façon que
pour le carrelage de la cuisine, nous avons découvert que
Jean-Pierre pourra carreler sa salle de bains si
[à condition que ]
Quand p est un nombre premier, la démonstration reprend celle du carrelage de la cuisine.
Pour p nombre non premier, nous nous sommes arrêtés au stade de la conjecture.
[Pour un énoncé de cette conjecture, voir la fin de la démonstration et la note NdE 2.]
suite
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