Comptes Rendus MATh.en.JEANS 03-03

Enseignants : Martine BARGOIN, Mariette DONNET, Cyril FOUQUET (Clg. Gérard Philipe) ; Sylvie BOUTHORS (Clg. des explorateurs).

Chercheur : Hervé PAJOT (Univ. de Cergy-Pontoise, 95).

Jumelage MATh.en.JEANS entre le collège Gérard Philipe et le collège des explorateurs (95 - Cergy Pontoise). Ateliers de Pratique Scientifique, année scolaire 2002-2003.

---

[Article en cours d'analyse et de vérification : les passages entre crochets sont des éditeurs]
[ L'icone renvoie au Glossaire MATh.en.JEANS , à un document ]

---

Sujet (note 1)

On considère 4 points distincts dans le plan. Est-on sûr de pouvoir former un triangle non isocèle avec trois d'entre eux ? Et si on considère 5, 6 ou 7 points ? (note 2)

Nous cherchons à faire des figures ne comprenant que des triangles isocèles.

Remarque : Les segments de même longueur ont la même couleur.

3 points

4 points

La figure de départ est un triangle isocèle et nous avons ajouté un 4ième point. Nous avons 3 triangles isocèles en plus du triangle de départ. Chaque triangle a 3 manières différentes d'être isocèle. Nous avons 27 figures possibles et il n'y a que 4 cas différents.

Le losange	Le trapèze
Le cerf-volant	Triangle isocèle avec un point équidistant des trois sommets.

5 points

Nous avons obtenu cette figure à partir du losange.	Nous avons obtenu cette figure à partir du trapèze.	Nous avons obtenu cette figure à partir du trapèze ou du triangle isocèle avec un point équidistant des 3 sommets ou du cerf-volant.
Le carré avec son centre.	Le pentagone	Trapèze avec un point F équidistant [de] 4 sommets

6 points

Le carré avec son centre ne nous donne aucune figure à 6 points.

Nous avons obtenu cette figure à partir du pentagone et à partir du trapèze avec un point F équidistant des 4 sommets.

Pentagone avec son centre

Nous n'avons pas pu essayer toutes les possibilités car si nous ajoutons un point nous avons 10 triangles de plus ce qui nous fait 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3=59049 possibilités.

7 points

Hexagone avec son centre

Heptagone régulier

Nous avons essayé 2 figures en partant du pentagone avec son centre et nous n'avons pas que des triangles isocèles. Le nombre de figures est trop important pour les réaliser.

Conclusion

Nous pensons qu'il n'y a pas de solution pour 7 points mais pour les figures à partir de 3, 4, 5, ou 6 points, nous avons plusieurs solutions avec uniquement des triangles isocèles.

1. Quatre sujets au choix étaient proposés aux élèves (voir les autres sujets)

retour à l'appel de cette note

2. [Note du chercheur] Ce problème a été posé par le mathématicien hongrois Paul Erdös (1913-1996) dans le journal American Mathematical Monthly en 1946.

retour à l'appel de cette note

3.

retour à l'appel de cette note

4. 

retour à l'appel de cette note

ERDÖS TRIANGLE ISOCÈLE RAMSEY CONFIGURATION DE POINTS PLAN