Les déboires d'un carreleur, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-06 

2. Le carrelage de René.

Un de nos amis, René, en nous voyant au travail avec le carrelage de Jean-Pierre, a pensé à sa terrasse qu'il veut carreler depuis longtemps et il nous a demandé d'étudier le problème.

René a une terrasse carrée de 7 mètres de côté. Il a une passion: les mots croisés, et pour donner à sa terrasse une allure de grille de mots croisés, il veut des carreaux de dimensions variées: 7 carreaux de dimensions 1x1 noirs, 7 carreaux en forme de L et 7 carreaux de dimensions 1x3. Sa question est: « Puis-je toujours carreler ma terrasse avec ces carreaux en respectant la condition suivante: il ne faut qu'un carreau noir par ligne et par colonne ? »

Nous avons donc:

Nous avons d'abord vérifié que l'aire totale des carreaux que René veut utiliser est égale à l'aire de la terrasse.

7x7 = 49 = 7x1 + 7x3 + 7x3 = 49

La condition dont nous avions besoin pour la cuisine de Jean-Pierre est donc vérifiée.

A court d'idées pour trouver les conditions que doit respecter le carrelage pour qu'il puisse être réalisé entièrement, nous avons décidé d'étudier toutes les configurations existantes.

Pour cela, nous avons commencé par dénombrer les possibilités de placer les pièces noires de 1x1. Un petit calcul nous a permis d'arriver au nombre de

[Ce sont les cas à étudier a priori. Ce nombre va être réduit en tenant compte de certaines impossibilités liées aux coins et de l'équivalence de certains cas par rotation]

Coins bouchés

Les configurations ayant au minimum un coin bouché ne sont évidemment pas pavables. Nous en avons dénombré 468.

Il nous reste donc 5 040-468 configurations à étudier, c'est à dire : 4 572

Rotations

Nous avons remarqué qu'à partir d'une configuration, on peut en obtenir trois autres d'allure totalement différente mais dont le pavage éventuel est identique, et ce par simple rotation.

Nous pourrions donc logiquement diviser le nombre de configurations à étudier par 4, mais un certain nombre de configurations n'existent que de deux manières. Nous en avons dénombré 44, à ne diviser que par 2.

Nombre de configurations à étudier

Un savant calcul nous a permis de récapituler tout ce que nous avons trouvé, et nous sommes donc parvenu au nombre final de:

configurations dont nous n'avons pas déterminé l'éventuelle "pavabilité".

Nous avons suffisamment travaillé!

A votre tour d'aider notre ami René DUBONBOIS..

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